Das KoSemNet Projekt

bauer-06-01: Spieltheorie

Autor(en): David Bauer

Inhalt: Nach einer Einführung in Zweipersonenspiele und gewinnerzwingende Strategien werden Zugänge unter methodischen Gesichtspunkten besprochen. Der Aufsatz schließt mit einer Reihe von Olympiadeaufgaben zum Thema.

Schlüsselworte: Spiele; Strategien; Heuristiken

Geeignet für: de-10-3

djokic-05-01: Aufgabensammlung zur vollständigen Induktion

Autor(en): Jelena Djokic

Inhalt: Es gibt Aufgaben zu Summenformneln, Ungleichungen, Teilbarkeitsaussagen, rekursiven Folgen, trigonometrischen Summen, Komposition von Abbildungen, Zerlegung der Ebene durch Geraden und Kreise.

Schlüsselworte: Vollständige Induktion

Geeignet für: de-9-3

graebe-00-1: Bewegungsgeometrie

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Im Text werden Beweise geometrischer Sätze und geometrische Konstuktionen mit Hilfe von verschiedenen Abbildungen der Euklidschen Ebene (Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen) ausgeführt.

Schlüsselworte: Geometrie; Abbildungen; Spiegelungen; Beweise durch Abbildungen; Geometrie und komplexe Zahlen

Geeignet für: de-11-3

graebe-01-1: Primzahl-Testverfahren

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Es werden praktikable Primtestverfahren vorgestellt, die in Computeralgebra-Systemen implementiert sind. Wir starten mit dem Probedivisions-Verfahren, diskutieren den Fermat-Test, Carmichael-Zahlen als Beispiele zusammengesetzter Zahlen, die der Fermat-Test nicht von Primzahlen unterscheiden kann, den Rabin-Miller-Test und Primzahlzertifikate.

Schlüsselworte: Primzahlen; Primtest-Algorithmen; Carmichael-Zahlen; Zahlentheorie

Geeignet für: de-11-3

graebe-04-1: Mathematische Aussagen und mathematische Beweise

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein kurzer Text über Beweistechniken für das Seminar in Klasse 7.

Schlüsselworte: Beweistechniken

Geeignet für: de-7-3

graebe-04-2: Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit dem Euklidschen Algorithmus

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein kurzer Text über die Berechnung des ggT mit dem Euklidschen Algorithmus für das Seminar in Klasse 7.

Schlüsselworte: ggT; Euklidscher Algorithmus

Geeignet für: de-7-3

graebe-04-3: Aussagenlogik

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein kurzer Text über logische Kombination von Aussagen für das Seminar in Klasse 7.

Schlüsselworte: Aussagenlogik

Geeignet für: de-7-3

graebe-04-4: Rechnen mit Kongruenzen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Einführendes Material in die modulare Arithmetik für das Seminar in Klasse 7.

Schlüsselworte: Kongruenzen; Modulare Arithmetik

Geeignet für: de-7-3

graebe-04-5: Ortslinien in der Geometrie

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein kurzer Text über das Konzept der Ortslinien in geometrischen Argumentationen für das Seminar in Klasse 7.

Schlüsselworte: Geometrie; Ortslinien

Geeignet für: de-7-3

graebe-04-6: Das Dirichletsche Schubfachprinzip

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Einführender Text zum Schubfachprinzip für das Seminar in Klasse 8.

Schlüsselworte: Schubfachprinzip

Geeignet für: de-8-3

graebe-04-7: Das Rechnen mit Kongruenzen. Teil 2

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ergänzendes Material zu modularer Arithmetik und linearen Kongruenzen für das Seminar in Klasse 8. Baut auf graebe-04-4 auf.

Schlüsselworte: Kongruenzen; Äquivalenzrelationen; Modulare Arithmetik; Lineare Diophantische Gleichungen

Geeignet für: de-8-3

graebe-04-8: Ähnlichkeit von Dreiecken

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Sehr elementares Material über Ähnlichkeit von Dreiecken für das Seminar in Klasse 8.

Schlüsselworte: Geometrie; Ähnlichkeit; Dreiecke

Geeignet für: de-8-3

graebe-05-1: Reguläre Polyeder

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein längerer Text über konvexe Polyeder, den Beweis der Eulerformel und die Herleitung der Klassifikation und einiger Parameter der Platonischen Körper.

Schlüsselworte: Reguläre Polyeder; Eulerformel; Klassifikation von Polyedern; Maße der Platonischen Körper

Geeignet für: de-9-3

graebe-05-2: Der Polyasche Abzählsatz und Färbungen regulärer Polyeder

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Ein Beweis des Polyaschen Abzählsatzes und dessen (kursorische) Anwendung auf die Frage nach der Anzahl von Färbungen regulärer Polyeder.

Schlüsselworte: Polyascher Abzählsatz; Symmetrien regulärer Polyeder; Färbungen regulärer Polyeder

Geeignet für: de-11-3

graebe-06-1: Lineare diophantische Gleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Material über lineare diophantische Gleichungen für das Seminar in Klasse 8. Betrachtet werden die Beziehung zu linearen modularen Gleichungen, Eulers Reduktionsmethode und ein Beweis des Strukturtheorems der Lösungsmenge.

Schlüsselworte: Lineare diophantische Gleichungen

Geeignet für: de-8-3

graebe-06-2: Beweisen von Ungleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Material über den Beweis elementarer agM-artiger Ungleichungen mit 2 und 3 Unbestimmten.

Schlüsselworte: Ungleichungen

Geeignet für: de-8-3

graebe-09-1: Eine Anmerkung zu einem Aufsatz von P. Gallin

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: In der Anmerkung wird die Nützlichkeit des Konzepts der erzeugenden Funktionen für die geschlossene Darstellung von Folgengliedern rekursiv gegebener Folgen gezeigt.

Schlüsselworte: Erzeugende Funktionen

Geeignet für: de-11-3

graebe-10-1: Eine Anmerkung zu einem Aufsatz von M. Dostal

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: In der Anmerkung wird die Nützlichkeit des Konzepts der erzeugenden Funktionen für die geschlossene Darstellung von Folgengliedern rekursiv gegebener Folgen gezeigt.

Schlüsselworte: Erzeugende Funktionen

Geeignet für: de-11-3

graebe-15-1: Zur Vereinfachung von Wurzelausdrücken

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: In diesem Aufsatz wird gezeigt, wie man mit algebraischen Zahlen rechnen kann, deren Minimalpolynom bekannt ist. Insbesondere wird besprochen, wie man rationale Ausdrücke, die algebraische Zahlen enthalten, in eine Linearkombination reduzierter Terme transformieren kann. Dieses Verfahren ist eine Verallgemeinerung des „Rationalmachens von Nennern”.

Schlüsselworte: Algebraische Zahlen

Geeignet für: de-11-3

graebe-24-1: Rekursive Folgen (Supplement)

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Dieser Aufsatz ergänzt schueler-05-1 um weiteres Material und präsentiert Lösungen für einzelne Aufgaben, die im Original ohne Lösung angegeben sind.

Schlüsselworte: Rekursion mit konstanten Koeffizienten; Fibonaccizahlen

Geeignet für: de-11-3

graebe-97-1: Einige wichtige Ungleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Es werden Informationen und Beweise der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel zusammengetragen und einige wichtige Verallgemeierungen (Mittel beliebigen Grads, Bernoulli-Ungleichung, gewichtete Mittel) diskutiert.

Schlüsselworte: Analysis; Ungleichungen

Geeignet für: de-11-3

graebe-98-1: Die Jensensche Ungleichung

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Es wird ein Beweis sowie Anwendungen der Jensenschen Ungleichung diskutiert.

Schlüsselworte: Analysis; Ungleichungen

Geeignet für: de-12-3

graebe-99-1: Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis

Autor(en): Hans-Gert Gräbe

Inhalt: Es werden fortgeschrittene geometrische Argumentationen behandelt, die Thaleskreise und Dreiecke in Ähnlichkeitslage verwenden, um Schnittpunktsätze für Ecktransversalen (Höhen, Winkelhalbierende), Eigenschaften des Höhenfußpunktdreiecks, der Eulergeraden und des Feuerbachkreises zu beweisen.

Schlüsselworte: Geometrie; Eulergerade; Feuerbachkreis; Satz von Desargue

Geeignet für: de-9-3

koenig-05-1: Wo steckt der Fehler?

Autor(en): Helmut König

Inhalt: Ein kurzer Text über verbreitete Fehlargumentationen in geometrischen Beweisen.

Schlüsselworte: Beweistechniken; Geometrie

Geeignet für: de-8-2

moldenhauer-06-1: Zum 150. Todestag des Princeps mathematicorum

Autor(en): Peter Glatz, Wolfgang Modenhauer

Inhalt: Ein allgemeiner Text über Gauss, dessen Beiträge zu und Interessen an verschiedenen Gebieten der Wissenschaften sowie einige Bemerkungen zu dessen Theorem über die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal.

Schlüsselworte: Gauss; Geschichte der Mathematik

Geeignet für: de-10-2

moldenhauer-06-2: Die „bestmöglichen“ Dreiecke

Autor(en): Carsten Moldenhauer, Wolfgang Modenhauer

Inhalt: Welches ist das „allgemeinste“ Dreieck, also jenes, dessen Winkel am weitesten von „speziellen“ Situationen (rechtwinklig, gleichschenklig) entfernt sind?

Schlüsselworte: Dreiecke

Geeignet für: de-9-2

sauermann-13-1: Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann

Inhalt: Ein Zusammenstellung wichtiger geometrischer Beziehungen zum Lösen von Olympiadeaufgaben Klasse 8.

Schlüsselworte: Geometrie

Geeignet für: de-8-3

sauermann-13-2: Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann

Inhalt: Ein Zusammenstellung wichtiger geometrischer Beziehungen zum Lösen von Olympiadeaufgaben Klasse 10.

Schlüsselworte: Geometrie

Geeignet für: de-10-3

sauermann-13-3: Kombinatorik für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann

Inhalt: Es werden verschiedene Zugänge zu kombinatorischen und Logikaufgaben besprochen, zu Logikrätseln, Permutationen, Variationen, Kombinationen. Weiter werden Binomialkoeffizienten eingeführt, der binomische Lehrsatz hergeleitet und daraus einige wichtige Identitäten abgeleitet. Im letzten Teil geht es um Abzählaufgaben auf Graphen und das Invarianzprinzip sowie um kombinatorische Geometrie.

Schlüsselworte: Logikaufgaben; Permutationen; Variationen; Kombinationen; Binomialkoeffizienten; binomischer Lehrsatz; binomische Identitäten; Abzählaufgaben; Graphen; Invarianzprinzip; kombinatorische Geometrie

Geeignet für: de-8-3

sauermann-13-4: Zahlentheorie

Autor(en): Lisa Sauermann

Inhalt: Es werden grundlegende Lösungsmethoden für Zahlentheorieaufgaben bei Olympiaden und anderen Wettbewerben vermittelt wie Anwendungen des Chinesischen Restsatzes, zahlentheoretische Funktionen (Eulersche Phi-Funktion und Teilersumme), der Satz von Euler-Fermat, die Identität von Sophie Germain, Potenzreste, Einschachtelungen von Quadratzahlen und Aufgaben zu Positionssystemen.

Schlüsselworte: Chinesischer Restsatz; Eulersche Phi-Funktion; Teilersumme; Satz von Euler-Fermat; Identität von Sophie Germain; Potenzreste; Quadratzahlen; Positionssysteme

Geeignet für: de-10-3

schueler-00-1: Polynome

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Im Text wird der Begriff des (univariaten) Polynoms eingeführt, Division mit Rest sowie der Zusammenhang zwischen Linearfaktoren und Nullstellen betrachtet, damit der Fundamentalsatz der Algebra, der Vietasche Wurzelsatz und symmetrische Polynome sowie die Newtonschen Relationen abgeleitet und Anwendungen auf verschiedene Aufgaben aus mathematischen Wettbewerben vorgestellt.

Schlüsselworte: Polynome; Nullstellen; symmetrische Polynome

Geeignet für: de-11-3

schueler-00-2: Einheitswurzeln und Polynome

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Es werden Schlussfolgerungen präsentiert, die sich aus der Darstellung von komplexen Zahlen in der trigonometrischen Form ableiten lassen (Moivres Formel, Einheitswurzeln, Vietas Wurzelsatz). Weiterhin werden auf dieser Basis trigonometrische und binominiale Identitäten bewiesen. Der Text setzt grundlegende Kenntnisse über komplexe Zahlen voraus.

Schlüsselworte: Komplexe Zahlen; Polynome; Einheitwurzeln

Geeignet für: de-11-3

schueler-00-3: Das Invarianzprinzip

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Es werden etwa 20 Probleme aus den Bereichen Zahlentheorie, Kombinatorik und Parkettierungen vorgestellt, die sich mit dem Invarianzprinzip lösen lassen.

Schlüsselworte: Invarianzprinzip

Geeignet für: de-9-3

schueler-01-1: Zahlentheorie

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Im Text werden einige grundlegende Aussagen über Teilbarkeit, ggT, ggT-Berechnung mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus, modulare Arithmetik, lineare diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen, quadratische Reste und Potenzrestfolgen zusammengetragen.

Schlüsselworte: Zahlentheorie; Modulare Arithmetik; Teilbarkeit, ggT

Geeignet für: de-8-3

schueler-01-2: Zerlegung von natürlichen Zahlen in die Summe von Quadratzahlen

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein Text über die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von vier Quadraten. Es wird das Bildungsgesetz für Pythagoräische Tripel, die Methode des unendlichen Abstiegs, die Lösbarkeit der Gleichung x^4+y^4=z^2 und der allgemeine Satz über die Darstellbarkeit von Zahlen als Summe von zwei bzw. vier Quadraten besprochen.

Schlüsselworte: Zahlentheorie; Quadratsummen

Geeignet für: de-11-3

schueler-01-3: Der Große Fermatsche Satz

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein Überichtsartikel über den Beweis des Großen Fermatschen Satzes.

Schlüsselworte: Zahlentheorie; Großer Fermatscher Satz

Geeignet für: de-11-3

schueler-01-4: Baryzentrische Koordinaten

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Anwendung baryzentrischer Koordinaten als allgemeines geometrisches Konzept in der analytischen Geometrie.

Schlüsselworte: Analytische geometrie; Baryzentrische Koordinaten

Geeignet für: de-11-3

schueler-02-1: Über Schnittpunkte von Diagonalen in regulären n-Ecken

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein Text über Mehrfachschnittpunkte in regelmäßigen n-Ecken, inspiriert von Problem 2 in Coxeters Buch. Die Argumentation stützt sich stark auf trigonometrische Funktionen.

Schlüsselworte: Geometrie; Regelmäßige n-Ecke

Geeignet für: de-11-3

schueler-02-2: Trugschlüsse im Zusammenhang mit dem Begriff der Stetigkeit

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein Text über falsche Schlüsse und pathologische Gegenbeispiele zu Stetigkeit und Periodizität von Funktionen.

Schlüsselworte: Analysis; Stetigkeit; Gegenbeispiele

Geeignet für: de-11-3

schueler-03-1: Quadratische Reste

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein text über quadratische Reste, die Darstellbarkeit von Zahlen als Summe von Quadraten und die Pellsche Gleichung. Es werden quadratische Reste verwendet, die modulare Testformel eingesetzt, das Bildungsgesetz für Pythagoräische Tripel hergeleitet, unendlicher Abstieg eingesetzt, die Lösbarkeit der Gleichung x^4+y^4=z^2 sowie die Darstellung von Zahlen als Summe von zwei oder vier Quadraten besprochen. Der letzte Teil befasst sich mit der Lösungsstrategie für Pellsche Gleichungen.

Schlüsselworte: Zahlentheorie; Quadratische Reste; Quadratsummen; Pellsche Gleichung

Geeignet für: de-11-3

schueler-03-2: Komplexe Zahlen

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Ein einführender Text über komplexe Zahlen, trigonometrische Form, komplexe Wurzeln, die geometrische Interpretation komplexer Zahlen mit Beispielen und Aufgaben.

Schlüsselworte: Komplexe Zahlen

Geeignet für: de-11-3

schueler-05-1: Rekursive Folgen

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Geometrische, arithmetische und periodische Folgen können als lineare rekursive Flgen mit konstanten Koeffizienten geschrieben werden. Wir präsentieren eine allgemeine Methode, mit der explizite Formeln für die Glieder einer solchen rekursiv gegebenen Folge hergeleitet werden können. 24 Aufgaben und einige Lösungen sind enthalten.

Schlüsselworte: Rekursion mit konstanten Koeffizienten; Fibonaccizahlen

Geeignet für: de-11-3

schueler-06-1: Abzählen von Färbungen - Das Cauchy-Frobenius- oder Burnside-Lemma

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Das Burnside Lemma wird bewiesen und angewandt auf Würfelfärbungen und das Abzählen von 3x3 ID-Karten.

Schlüsselworte: Aktion endlicher Gruppen; abzählende Kombinatorik; Burnside-Lemma; Cauchy-Frobenius-Lemma

Geeignet für: de-11-3

schueler-06-2: Mathematik in der Unterstufe

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Geeignet für Mathematiklehrer in Klasse 2-4 und für Eltern mit Kindern in Klasse 2-4.

Schlüsselworte: Mathematische Spiele auf kariertem Papier; mathematische Kartenspiele; Knobelbücher; Internet-Angebote

Geeignet für: de-2-2

schueler-98-1: Komplexe Zahlen und Geometrie

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Zum Einsatz komplexer Zahlen in Geometriebeweisen.

Schlüsselworte: Geometrie; komplexe Zahlen

Geeignet für: de-11-3

schueler-99-1: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

Autor(en): Axel Schüler

Inhalt: Zum Einsatz des Skalarprodukts als analytisches Instrument in Geometriebeweisen.

Schlüsselworte: Analytische Geometrie; Skalarprodukt

Geeignet für: de-11-3

semmler-05-1: Funktionalgleichungen

Autor(en): Gunter Semmler

Inhalt: Ein Text über das Lösen von Funktionalgleichungen.

Schlüsselworte: Funktionalgleichungen; Cauchysche Funktionalgleichung; periodische Functionen

Geeignet für: de-11-3

semmler-05-2: Kombinatorik

Autor(en): Gunter Semmler

Inhalt: Ein Text über grundlegende Abzählprinzipien (Abzählformeln, Einschluss-Ausschluss-Prinzip, erzeugene Funktionen) und Anwendungen auf Binomial-Identitäten.

Schlüsselworte: Kombinatorik; Abzählformeln; Binomial-Identitäten; Einschluss-Ausschluss-Prinzip; Rekursion; erzeugene Funktionen; verallgemeinerte binomische Formel

Geeignet für: de-11-3

semmler-05-3: Funktionen in der Zahlentheorie

Autor(en): Gunter Semmler

Inhalt: Ein Text über Funktionen in der Zahlentheorie: multiplikative Funktionen, Teileranzahlen und Teilersummen, die Möbiusfunktion und die Möbius-Inversionformel.

Schlüsselworte: Floor-Function; Zahlentheorie; multiplikative Funktionen; Teilersummen; Möbiusfunktion; Eulerfunktion

Geeignet für: de-11-3

wirth-05-1: Trigonometrische Funktionen

Autor(en): Jens Wirth

Inhalt: Ein Text über Anwendungen komplexer Zahlen in trigonometrischer Form auf trigonometrische Identitäten, reguläre n-Ecke und die Tschebyschew-Polynome.

Schlüsselworte: Komplexe Zahlen; Trigonometrische Funktionen; Reguläre n-Ecke; Tschebyschew-Polynome

Geeignet für: de-11-3

wirth-05-2: Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Autor(en): Jens Wirth

Inhalt: Ein Text über trigonometrische Funktionen und deren Anwendung in der Geometrie. Es werden der Sinussatz, der Cosinussatz, Winkelsummen, die Dreiecksflächenformel abc/4R, Inkreisradien und einige trigonometrische Ungleichungen besprochen.

Schlüsselworte: Trigonometrische Funktionen; Geometrie

Geeignet für: de-11-3