Das KoSemNet Projekt


Das Korrespondenz-Seminar-Netzwerk Projekt entstand ursprünglich im Nachgang zu einem Treffen von Gruppen engagierter Förderer mathematischer Nachwuchstalente im Schulalter aus Tschechien, der Slowakei, Ungarn und Deutschland im März 2004 in Bratislava.

Nach einer enthusiastischen Anfangsphase sind heute einzelne Personen aus verschiedenen Förderzusammenhängen in Deutschland im Projekt aktiv. Die Koordinierung der Aktivitäten erfolgt über die LSGM - die Leipziger Schülergesellschaft für Mathematik.


Kurzübersicht über verfügbare Texte

Die folgenden Aufsätze und mathematischen Miniaturen sind Teil der KoSemNet Datenbasis.

"geeignet für" bedeutet, dass der Text geeigent ist für die Arbeit mit Schülern der Befähigungsstufe (klasse)-(grad). "Grad" orientiert sich an der Schwierigkeit von Aufgaben der Mathematikolympiade (MO) der angegebenen Klassenstufe und reicht von 1 (MO 1. Stufe) bis 5 (IMO).

bauer-06-01: Spieltheorie

Autor(en): David Bauer
Inhalt: Nach einer Einführung in Zweipersonenspiele und gewinnerzwingende Strategien werden Zugänge unter methodischen Gesichtspunkten besprochen. Der Aufsatz schließt mit einer Reihe von Olympiadeaufgaben zum Thema.
Schlüsselworte: Spiele; Strategien; Heuristiken
Geeignet für: de-10-3

djokic-05-01: Aufgabensammlung zur vollständigen Induktion

Autor(en): Jelena Djokic
Inhalt: Es gibt Aufgaben zu Summenformneln, Ungleichungen, Teilbarkeitsaussagen, rekursiven Folgen, trigonometrischen Summen, Komposition von Abbildungen, Zerlegung der Ebene durch Geraden und Kreise.
Schlüsselworte: Vollständige Induktion
Geeignet für: de-9-3

graebe-00-1: Bewegungsgeometrie

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Im Text werden Beweise geometrischer Sätze und geometrische Konstuktionen mit Hilfe von verschiedenen Abbildungen der Euklidschen Ebene (Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen) ausgeführt.
Schlüsselworte: Geometrie; Abbildungen; Spiegelungen; Beweise durch Abbildungen; Geometrie und komplexe Zahlen
Geeignet für: de-11-3

graebe-01-1: Primzahl-Testverfahren

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Es werden praktikable Primtestverfahren vorgestellt, die in Computeralgebra-Systemen implementiert sind. Wir starten mit dem Probedivisions-Verfahren, diskutieren den Fermat-Test, Carmichael-Zahlen als Beispiele zusammengesetzter Zahlen, die der Fermat-Test nicht von Primzahlen unterscheiden kann, den Rabin-Miller-Test und Primzahlzertifikate.
Schlüsselworte: Primzahlen; Primtest-Algorithmen; Carmichael-Zahlen; Zahlentheorie
Geeignet für: de-11-3

graebe-04-1: Mathematische Aussagen und mathematische Beweise

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein kurzer Text über Beweistechniken für das Seminar in Klasse 7.
Schlüsselworte: Beweistechniken
Geeignet für: de-7-3

graebe-04-2: Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit dem Euklidschen Algorithmus

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein kurzer Text über die Berechnung des ggT mit dem Euklidschen Algorithmus für das Seminar in Klasse 7.
Schlüsselworte: ggT; Euklidscher Algorithmus
Geeignet für: de-7-3

graebe-04-3: Aussagenlogik

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein kurzer Text über logische Kombination von Aussagen für das Seminar in Klasse 7.
Schlüsselworte: Aussagenlogik
Geeignet für: de-7-3

graebe-04-4: Rechnen mit Kongruenzen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Einführendes Material in die modulare Arithmetik für das Seminar in Klasse 7.
Schlüsselworte: Kongruenzen; Modulare Arithmetik
Geeignet für: de-7-3

graebe-04-5: Ortslinien in der Geometrie

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein kurzer Text über das Konzept der Ortslinien in geometrischen Argumentationen für das Seminar in Klasse 7.
Schlüsselworte: Geometrie; Ortslinien
Geeignet für: de-7-3

graebe-04-6: Das Dirichletsche Schubfachprinzip

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Einführender Text zum Schubfachprinzip für das Seminar in Klasse 8.
Schlüsselworte: Schubfachprinzip
Geeignet für: de-8-3

graebe-04-7: Das Rechnen mit Kongruenzen. Teil 2

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ergänzendes Material zu modularer Arithmetik und linearen Kongruenzen für das Seminar in Klasse 8. Baut auf graebe-04-4 auf.
Schlüsselworte: Kongruenzen; Äquivalenzrelationen; Modulare Arithmetik; Lineare Diophantische Gleichungen
Geeignet für: de-8-3

graebe-04-8: Ähnlichkeit von Dreiecken

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Sehr elementares Material über Ähnlichkeit von Dreiecken für das Seminar in Klasse 8.
Schlüsselworte: Geometrie; Ähnlichkeit; Dreiecke
Geeignet für: de-8-3

graebe-05-1: Reguläre Polyeder

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein kurzer Text über konvexe Polyeder, den Beweis der Eulerformel und die Herleitung der Klassifikation regulärer Polyeder.
Schlüsselworte: Reguläre Polyeder; Eulerformel; Klassifikation von Polyedern
Geeignet für: de-9-3

graebe-05-2: Der Polyasche Abzählsatz und Färbungen regulärer Polyeder

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Ein Beweis des Polyaschen Abzählsatzes und dessen (kursorische) Anwendung auf die Frage nach der Anzahl von Färbungen regulärer Polyeder.
Schlüsselworte: Polyascher Abzählsatz; Symmetrien regulärer Polyeder; Färbungen regulärer Polyeder
Geeignet für: de-11-3

graebe-06-1: Lineare diophantische Gleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Material über lineare diophantische Gleichungen für das Seminar in Klasse 8. Betrachtet werden die Beziehung zu linearen modularen Gleichungen, Eulers Reduktionsmethode und ein Beweis des Strukturtheorems der Lösungsmenge.
Schlüsselworte: Lineare diophantische Gleichungen
Geeignet für: de-8-3

graebe-06-2: Beweisen von Ungleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Material über den Beweis elementarer agM-artiger Ungleichungen mit 2 und 3 Unbestimmten.
Schlüsselworte: Ungleichungen
Geeignet für: de-8-3

graebe-09-1: Eine Anmerkung zu einem Aufsatz von P. Gallin

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: In der Anmerkung wird die Nützlichkeit des Konzepts der erzeugenden Funktionen für die geschlossene Darstellung von Folgengliedern rekursiv gegebener Folgen gezeigt.
Schlüsselworte: Erzeugende Funktionen
Geeignet für: de-11-3

graebe-10-1: Eine Anmerkung zu einem Aufsatz von M. Dostal

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: In der Anmerkung wird die Nützlichkeit des Konzepts der erzeugenden Funktionen für die geschlossene Darstellung von Folgengliedern rekursiv gegebener Folgen gezeigt.
Schlüsselworte: Erzeugende Funktionen
Geeignet für: de-11-3

graebe-15-1: Zur Vereinfachung von Wurzelausdrücken

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: In diesem Aufsatz wird gezeigt, wie man mit algebraischen Zahlen rechnen kann, deren Minimalpolynom bekannt ist. Insbesondere wird besprochen, wie man rationale Ausdrücke, die algebraische Zahlen enthalten, in eine Linearkombination reduzierter Terme transformieren kann. Dieses Verfahren ist eine Verallgemeinerung des „Rationalmachens von Nennern”.
Schlüsselworte: Algebraische Zahlen
Geeignet für: de-11-3

graebe-97-1: Einige wichtige Ungleichungen

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Es werden Informationen und Beweise der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel zusammengetragen und einige wichtige Verallgemeierungen (Mittel beliebigen Grads, Bernoulli-Ungleichung, gewichtete Mittel) diskutiert.
Schlüsselworte: Analysis; Ungleichungen
Geeignet für: de-11-3

graebe-98-1: Die Jensensche Ungleichung

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Es wird ein Beweis sowie Anwendungen der Jensenschen Ungleichung diskutiert.
Schlüsselworte: Analysis; Ungleichungen
Geeignet für: de-12-3

graebe-99-1: Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis

Autor(en): Hans-Gert Gräbe
Inhalt: Es werden fortgeschrittene geometrische Argumentationen behandelt, die Thaleskreise und Dreiecke in Ähnlichkeitslage verwenden, um Schnittpunktsätze für Ecktransversalen (Höhen, Winkelhalbierende), Eigenschaften des Höhenfußpunktdreiecks, der Eulergeraden und des Feuerbachkreises zu beweisen.
Schlüsselworte: Geometrie; Eulergerade; Feuerbachkreis; Satz von Desargue
Geeignet für: de-9-3

koenig-05-1: Wo steckt der Fehler?

Autor(en): Helmut König
Inhalt: Ein kurzer Text über verbreitete Fehlargumentationen in geometrischen Beweisen.
Schlüsselworte: Beweistechniken; Geometrie
Geeignet für: de-8-2

moldenhauer-06-1: Zum 150. Todestag des Princeps mathematicorum

Autor(en): Peter Glatz, Wolfgang Modenhauer
Inhalt: Ein allgemeiner Text über Gauss, dessen Beiträge zu und Interessen an verschiedenen Gebieten der Wissenschaften sowie einige Bemerkungen zu dessen Theorem über die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal.
Schlüsselworte: Gauss; Geschichte der Mathematik
Geeignet für: de-10-2

moldenhauer-06-2: Die „bestmöglichen“ Dreiecke

Autor(en): Carsten Moldenhauer, Wolfgang Modenhauer
Inhalt: Welches ist das „allgemeinste“ Dreieck, also jenes, dessen Winkel am weitesten von „speziellen“ Situationen (rechtwinklig, gleichschenklig) entfernt sind?
Schlüsselworte: Dreiecke
Geeignet für: de-9-2

sauermann-13-1: Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann
Inhalt: Ein Zusammenstellung wichtiger geometrischer Beziehungen zum Lösen von Olympiadeaufgaben Klasse 8.
Schlüsselworte: Geometrie
Geeignet für: de-8-3

sauermann-13-2: Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann
Inhalt: Ein Zusammenstellung wichtiger geometrischer Beziehungen zum Lösen von Olympiadeaufgaben Klasse 10.
Schlüsselworte: Geometrie
Geeignet für: de-10-3

sauermann-13-3: Kombinatorik für Klasse 8

Autor(en): Lisa Sauermann
Inhalt: Es werden verschiedene Zugänge zu kombinatorischen und Logikaufgaben besprochen, zu Logikrätseln, Permutationen, Variationen, Kombinationen. Weiter werden Binomialkoeffizienten eingeführt, der binomische Lehrsatz hergeleitet und daraus einige wichtige Identitäten abgeleitet. Im letzten Teil geht es um Abzählaufgaben auf Graphen und das Invarianzprinzip sowie um kombinatorische Geometrie.
Schlüsselworte: Logikaufgaben; Permutationen; Variationen; Kombinationen; Binomialkoeffizienten; binomischer Lehrsatz; binomische Identitäten; Abzählaufgaben; Graphen; Invarianzprinzip; kombinatorische Geometrie
Geeignet für: de-8-3

sauermann-13-4: Zahlentheorie

Autor(en): Lisa Sauermann
Inhalt: Es werden grundlegende Lösungsmethoden für Zahlentheorieaufgaben bei Olympiaden und anderen Wettbewerben vermittelt wie Anwendungen des Chinesischen Restsatzes, zahlentheoretische Funktionen (Eulersche Phi-Funktion und Teilersumme), der Satz von Euler-Fermat, die Identität von Sophie Germain, Potenzreste, Einschachtelungen von Quadratzahlen und Aufgaben zu Positionssystemen.
Schlüsselworte: Chinesischer Restsatz; Eulersche Phi-Funktion; Teilersumme; Satz von Euler-Fermat; Identität von Sophie Germain; Potenzreste; Quadratzahlen; Positionssysteme
Geeignet für: de-10-3

schueler-00-1: Polynome

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Im Text wird der Begriff des (univariaten) Polynoms eingeführt, Division mit Rest sowie der Zusammenhang zwischen Linearfaktoren und Nullstellen betrachtet, damit der Fundamentalsatz der Algebra, der Vietasche Wurzelsatz und symmetrische Polynome sowie die Newtonschen Relationen abgeleitet und Anwendungen auf verschiedene Aufgaben aus mathematischen Wettbewerben vorgestellt.
Schlüsselworte: Polynome; Nullstellen; symmetrische Polynome
Geeignet für: de-11-3

schueler-00-2: Einheitswurzeln und Polynome

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Es werden Schlussfolgerungen präsentiert, die sich aus der Darstellung von komplexen Zahlen in der trigonometrischen Form ableiten lassen (Moivres Formel, Einheitswurzeln, Vietas Wurzelsatz). Weiterhin werden auf dieser Basis trigonometrische und binominiale Identitäten bewiesen. Der Text setzt grundlegende Kenntnisse über komplexe Zahlen voraus.
Schlüsselworte: Komplexe Zahlen; Polynome; Einheitwurzeln
Geeignet für: de-11-3

schueler-00-3: Das Invarianzprinzip

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Es werden etwa 20 Probleme aus den Bereichen Zahlentheorie, Kombinatorik und Parkettierungen vorgestellt, die sich mit dem Invarianzprinzip lösen lassen.
Schlüsselworte: Invarianzprinzip
Geeignet für: de-9-3

schueler-01-1: Zahlentheorie

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Im Text werden einige grundlegende Aussagen über Teilbarkeit, ggT, ggT-Berechnung mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus, modulare Arithmetik, lineare diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen, quadratische Reste und Potenzrestfolgen zusammengetragen.
Schlüsselworte: Zahlentheorie; Modulare Arithmetik; Teilbarkeit, ggT
Geeignet für: de-8-3

schueler-01-2: Zerlegung von natürlichen Zahlen in die Summe von Quadratzahlen

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein Text über die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von vier Quadraten. Es wird das Bildungsgesetz für Pythagoräische Tripel, die Methode des unendlichen Abstiegs, die Lösbarkeit der Gleichung x^4+y^4=z^2 und der allgemeine Satz über die Darstellbarkeit von Zahlen als Summe von zwei bzw. vier Quadraten besprochen.
Schlüsselworte: Zahlentheorie; Quadratsummen
Geeignet für: de-11-3

schueler-01-3: Der Große Fermatsche Satz

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein Überichtsartikel über den Beweis des Großen Fermatschen Satzes.
Schlüsselworte: Zahlentheorie; Großer Fermatscher Satz
Geeignet für: de-11-3

schueler-01-4: Baryzentrische Koordinaten

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Anwendung baryzentrischer Koordinaten als allgemeines geometrisches Konzept in der analytischen Geometrie.
Schlüsselworte: Analytische geometrie; Baryzentrische Koordinaten
Geeignet für: de-11-3

schueler-02-1: Über Schnittpunkte von Diagonalen in regulären n-Ecken

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein Text über Mehrfachschnittpunkte in regelmäßigen n-Ecken, inspiriert von Problem 2 in Coxeters Buch. Die Argumentation stützt sich stark auf trigonometrische Funktionen.
Schlüsselworte: Geometrie; Regelmäßige n-Ecke
Geeignet für: de-11-3

schueler-02-2: Trugschlüsse im Zusammenhang mit dem Begriff der Stetigkeit

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein Text über falsche Schlüsse und pathologische Gegenbeispiele zu Stetigkeit und Periodizität von Funktionen.
Schlüsselworte: Analysis; Stetigkeit; Gegenbeispiele
Geeignet für: de-11-3

schueler-03-1: Quadratische Reste

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein text über quadratische Reste, die Darstellbarkeit von Zahlen als Summe von Quadraten und die Pellsche Gleichung. Es werden quadratische Reste verwendet, die modulare Testformel eingesetzt, das Bildungsgesetz für Pythagoräische Tripel hergeleitet, unendlicher Abstieg eingesetzt, die Lösbarkeit der Gleichung x^4+y^4=z^2 sowie die Darstellung von Zahlen als Summe von zwei oder vier Quadraten besprochen. Der letzte Teil befasst sich mit der Lösungsstrategie für Pellsche Gleichungen.
Schlüsselworte: Zahlentheorie; Quadratische Reste; Quadratsummen; Pellsche Gleichung
Geeignet für: de-11-3

schueler-03-2: Komplexe Zahlen

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Ein einführender Text über komplexe Zahlen, trigonometrische Form, komplexe Wurzeln, die geometrische Interpretation komplexer Zahlen mit Beispielen und Aufgaben.
Schlüsselworte: Komplexe Zahlen
Geeignet für: de-11-3

schueler-05-1: Rekursive Folgen

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Geometrische, arithmetische und periodische Folgen können als lineare rekursive Flgen mit konstanten Koeffizienten geschrieben werden. Wir präsentieren eine allgemeine Methode, mit der explizite Formeln für die Glieder einer solchen rekursiv gegebenen Folge hergeleitet werden können. 24 Aufgaben und einige Lösungen sind enthalten.
Schlüsselworte: konstante Koeffizienten; Fibonaccizahlen
Geeignet für: de-11-3

schueler-06-1: Abzählen von Färbungen - Das Cauchy-Frobenius- oder Burnside-Lemma

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Das Burnside Lemma wird bewiesen und angewandt auf Würfelfärbungen und das Abzählen von 3x3 ID-Karten.
Schlüsselworte: Aktion endlicher Gruppen; abzählende Kombinatorik; Burnside-Lemma; Cauchy-Frobenius-Lemma
Geeignet für: de-11-3

schueler-06-2: Mathematik in der Unterstufe

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Geeignet für Mathematiklehrer in Klasse 2-4 und für Eltern mit Kindern in Klasse 2-4.
Schlüsselworte: Mathematische Spiele auf kariertem Papier; mathematische Kartenspiele; Knobelbücher; Internet-Angebote
Geeignet für: de-2-2

schueler-98-1: Komplexe Zahlen und Geometrie

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Zum Einsatz komplexer Zahlen in Geometriebeweisen.
Schlüsselworte: Geometrie; komplexe Zahlen
Geeignet für: de-11-3

schueler-99-1: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

Autor(en): Axel Schüler
Inhalt: Zum Einsatz des Skalarprodukts als analytisches Instrument in Geometriebeweisen.
Schlüsselworte: Analytische Geometrie; Skalarprodukt
Geeignet für: de-11-3

semmler-05-1: Funktionalgleichungen

Autor(en): Gunter Semmler
Inhalt: Ein Text über das Lösen von Funktionalgleichungen.
Schlüsselworte: Funktionalgleichungen; Cauchysche Funktionalgleichung; periodische Functionen
Geeignet für: de-11-3

semmler-05-2: Kombinatorik

Autor(en): Gunter Semmler
Inhalt: Ein Text über grundlegende Abzählprinzipien (Abzählformeln, Einschluss-Ausschluss-Prinzip, erzeugene Funktionen) und Anwendungen auf Binomial-Identitäten.
Schlüsselworte: Kombinatorik; Abzählformeln; Binomial-Identitäten; Einschluss-Ausschluss-Prinzip; Rekursion; erzeugene Funktionen; verallgemeinerte binomische Formel
Geeignet für: de-11-3

semmler-05-3: Funktionen in der Zahlentheorie

Autor(en): Gunter Semmler
Inhalt: Ein Text über Funktionen in der Zahlentheorie: multiplikative Funktionen, Teileranzahlen und Teilersummen, die Möbiusfunktion und die Möbius-Inversionformel.
Schlüsselworte: Floor-Function; Zahlentheorie; multiplikative Funktionen; Teilersummen; Möbiusfunktion; Eulerfunktion
Geeignet für: de-11-3

wirth-05-1: Trigonometrische Funktionen

Autor(en): Jens Wirth
Inhalt: Ein Text über Anwendungen komplexer Zahlen in trigonometrischer Form auf trigonometrische Identitäten, reguläre n-Ecke und die Tschebyschew-Polynome.
Schlüsselworte: Komplexe Zahlen; Trigonometrische Funktionen; Reguläre n-Ecke; Tschebyschew-Polynome
Geeignet für: de-11-3

wirth-05-2: Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Autor(en): Jens Wirth
Inhalt: Ein Text über trigonometrische Funktionen und deren Anwendung in der Geometrie. Es werden der Sinussatz, der Cosinussatz, Winkelsummen, die Dreiecksflächenformel abc/4R, Inkreisradien und einige trigonometrische Ungleichungen besprochen.
Schlüsselworte: Trigonometrische Funktionen; Geometrie
Geeignet für: de-11-3